Νοεροί Υπολογισμοί και Εκτιμήσεις: Από την έρευνα στη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών
Το παρόν βιβλίο επιδιώκει να καλύψει θεματικά ένα μεγάλο μέρος των νοερών υπολογισμών και των εκτιμήσεων και απευθύνεται σε όσους ασχολούνται με την έρευνα και την πράξη της εκπαίδευσης των μαθηματικών. Στο περιεχόμενό του αναπτύσσονται θέματα όπως: Ο τρόπος που ορίζονται οι νοεροί υπολογισμοί και οι εκτιμήσεις και οι αιτίες για τις οποίες είναι σημαντικοί για τη διδασκαλία των μαθηματικών. Οι συμπεριφορές των μαθητών και οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν κατά τη νοερή εκτέλεση των προσθέσεων, αφαιρέσεων, πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων με φυσικούς και ρητούς αριθμούς. Η μάθηση/διδασκαλία της προπαίδειας και τα γνωστικά χαρακτηριστικά της. Οι σύγχρονες τάσεις για τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και της εκτίμησης. Η ιστορική εξέλιξη της διδασκαλίας των νοερών υπολογισμών και της εκτίμησης στην ελληνική εκπαίδευση. Ακόμα, αναπτύσσονται και παρουσιάζονται: Τα αποτελέσματα των σχετικών ερευνών και οι στρατηγικές στα τέσσερα είδη της εκτίμησης: την υπολογιστική εκτίμηση, την εκτίμηση μέτρησης, την εκτίμηση αριθμογραμμής και την εκτίμηση πλήθους. Ο τρόπος που μαθαίνουν τους νοερούς υπολογισμούς και οι αδυναμίες που παρουσιάζουν οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες και με δυσκολίες στα μαθηματικά. Η λειτουργία της μνήμης και τα σημεία του εγκεφάλου στα οποία γίνεται η λειτουργία των διεργασιών των σχετικών με τους νοερούς υπολογισμούς και εκτιμήσεις. Τέλος, εκτός από τα αποτελέσματα της έρευνας στη διεθνή βιβλιογραφία, παρατίθενται και πολλές εμπειρικές έρευνες της σχολής των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής, οι οποίες εμπλουτίζουν τα περιεχόμενα και αναδεικνύουν τις συμπεριφορές Ελλήνων μαθητών, εκπαιδευτικών και ενηλίκων σε αυτά τα θέματα.
Πρότυπο βιβλίο Μαθηματικών Β’ τάξης (βιβλίο μαθητή)
Χαρακτηρίζουμε το παρόν βιβλίο ως «πρότυπο», αφενός γιατί εισάγει πολλές διδακτικές καινοτόμες στη διδασκαλία των μαθηματικών στη χώρα μας και αφετέρου επειδή αποτελεί ένα δυναμικό εργαλείο εκπαίδευσης των μελλοντικών δασκάλων, το περιεχόμενο του οποίου συνεχώς ανανεώνεται.
Η πρώτη έκδοση του βιβλίου πραγματοποιήθηκε το 2007. Το βιβλίο αυτό μαζί με τα άλλα δύο βιβλία της Α΄ και Γ΄ τάξης του οργανισμού αποτελούν μια ολοκληρωμένη πρόταση της συγγραφικής μας ομάδας, με την επωνυμία «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής», για τη διδασκαλία των Μαθηματικών στις τρεις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Από τότε, το περιεχόμενο του βιβλίου συμπληρώνεται και ανανεώνεται, με βάση τα δεδομένα από την εμπειρία της εφαρμογής του στην εκπαιδευτική πράξη, αλλά και τα πορίσματα της έρευνας στον χώρο της Διδακτικής των Μαθηματικών.
Οι πιο σημαντικές αλλαγές που πραγματοποιήθηκαν σε αυτήν την ανανεωμένη έκδοση του βιβλίου, σε σχέση με την προηγούμενη, είναι οι εξής:
• Αναθεώρηση και αναδιοργάνωση του προγράμματος σπουδών και των στόχων, με βάση τα τελευταία αποτελέσματα της έρευνας στη διδασκαλία των μαθηματικών.
• Η χρήση της τεχνολογίας. Σε κάθε κεφάλαιο σχεδόν προσφέρονται εφαρμογές οι οποίες εμπλουτίζουν και δίνουν άλλη διάσταση στη μάθηση και εμπέδωση των περιεχομένων. Δίνεται έμφαση στη φορητή τεχνολογία, η οποία είναι πιο σύγχρονη και ευέλικτη. Στο τέλος του κάθε
κεφαλαίου, στο βιβλίο του δασκάλου, παρουσιάζονται προγράμματα με τις διευθύνσεις τους, τα οποία είναι κατάλληλα για το συγκεκριμένο κεφάλαιο. Είναι διαθέσιμη υποστηρικτική ιστοσελίδα του βιβλίου στην οποία μπορεί να βρει κάποιος κείμενα και άλλα υλικά τα οποία απευθύνονται στους μαθητές, τους εκπαιδευτικούς και τους γονείς.
• Εμπλουτισμός και ανανέωση περιεχομένων. Προστέθηκαν νέα περιεχόμενα και πραγματοποιήθηκαν αλλαγές, όπως:
– Χρήση της αριθμογραμμής για τους αριθμούς και τις πράξεις (Κεφάλαια 2, 6 και 12).
– Εισαγωγή στην αλγεβρική σκέψη και την πρώιμη άλγεβρα (Κεφάλαιο 38).
– Στη γεωμετρία: α) Χωρισμός σε ίσα μέρη, ως εισαγωγή στα κλάσματα (Κεφάλαια 10 και 26). β) Επιπλέον γεωμετρικοί μετασχηματισμοί,
όπως η μετατόπιση και η στροφή (Κεφάλαιο 47).
– Εισαγωγή των μαθητών στα «Στοχαστικά Μαθηματικά», με ένα κεφάλαιο αφιερωμένο στην οργάνωση και παρουσίαση δεδομένων (Κεφάλαιο 59).
– Αλλαγή στη διδασκαλία της προπαίδειας. Προτείνουμε η μάθηση της προπαίδειας, στη Β’ τάξη, να φτάνει μέχρι τον πίνακα του 6 και τα μεγαλύτερα γινόμενα να διδάσκονται στη Γ’ τάξη. Σήμερα η προπαίδεια διδάσκεται στην Β’ και Γ’ τάξη με τον ίδιο τρόπο και στις δύο τάξεις.
Προτείνουμε αυτήν την αλλαγή, για να υπάρχει μια αναπτυξιακή πορεία στη μάθηση της προπαίδειας μεταξύ των δύο τάξεων. Όσοι εκπαιδευτικοί το επιθυμούν, μπορούν να διδάξουν όλη την προπαίδεια και στη Β’ τάξη, καθώς προσφέρονται στο παράρτημα του βιβλίου τα
κεφάλαια για τη διδασκαλία των γινομένων 7, 8 και 9.
Πρότυπο βιβλίο Μαθηματικών Β’ τάξης (βιβλίο δασκάλου και μαθητή)
Στην Τροχιά των Ρητών
Η διδασκαλία/μάθηση των ρητών αριθμών και ειδικά των κλασμάτων είναι ένα από τα αντικείμενα, στα οποία συναντούν δυσκολίες μαθητές αλλά και εκπαιδευτικοί, όχι μόνο στην Ελλάδα αλλά και
σε όλο τον κόσμο. Με το σύγγραμμα αυτό στόχος είναι ο εκσυγχρονισμός της διδασκαλίας των κλασμάτων και των δεκαδικών αριθμών σε όλο το δημοτικό σχολείο. Προτείνεται ένας σύγχρονος
τρόπος διδασκαλίας από την Α’ μέχρι και την Ε’ τάξη του δημοτικού σχολείου για τα κλάσματα και τους δεκαδικούς αριθμούς. Στο βιβλίο αυτό υπάρχει καθετοποίηση και μετάβαση από τη
θεωρία της διδασκαλίας των ρητών αριθμών στη διδακτική πράξη και αντίστροφα. Υπάρχει δηλαδή ένα πρώτο θεωρητικό μέρος, που αναλύει επιστημονικά τις δυσκολίες στη διδασκαλία/μάθηση των
κλασμάτων και δεκαδικών αριθμών, καθώς και όλους τους παράγοντες που επιδρούν σε μια σύγχρονη διδασκαλία, όπως οι αναπαραστάσεις, η αριθμογραμμή, οι εκτιμήσεις, η τεχνολογία κ.ά.
Στη συνέχεια προτείνεται και αναλύεται ένα σύγχρονο πρόγραμμα σπουδών για τη διδασκαλία των κλασμάτων και δεκαδικών αριθμών στο δημοτικό σχολείο. Τέλος, με βάση το πρόγραμμα
αυτό, παρουσιάζεται εκπαιδευτικό υλικό, όπως βιβλίο δασκάλου και βιβλίο μαθητή και τετράδιο εργασιών για τη διδασκαλία των κλασμάτων και δεκαδικών αριθμών για την Α’ έως την Ε’ τάξη του
δημοτικού σχολείου.
Στην Τροχιά των Ρητών, Βιβλίο μαθητή Α’, Β’ Γ’ και Δ’ Τάξης
Το σύγγραμμα αυτό εμπεριέχει το βιβλίο και το τετράδιο εργασιών για το μαθητή, για τη διδασκαλία των κλασμάτων και των δεκαδικών αριθμών από την Α’ έως την Δ’ τάξη του δημοτικού σχολείου.
Η πρόταση αυτή διδασκαλίας για τα κλάσματα και τους δεκαδικούς αριθμούς βασίζεται στα σύγχρονα δεδομένα της επιστήμης της διδασκαλίας των μαθηματικών, καθώς και στην πειραματική εφαρμογή του συγκεκριμένου υλικού στα σχολεία.
Κύριος στόχος της διδακτικής πρότασης είναι η κατανόηση από την πλευρά των μαθητών και των εκπαιδευτικών και όχι η εφαρμογή κανόνων χωρίς κατανόηση. Για το σκοπό αυτό οι καινοτομίες που εισάγονται στη διδασκαλία είναι η χρήση παραδειγμάτων και προβλημάτων της καθημερινής ζωής, πολλαπλών αναπαραστάσεων και κυρίως της αριθμογραμμής, η χρήση της τεχνολογίας κ.ά.
Τα αποτελέσματα της πειραματικής εφαρμογής του βιβλίου αυτού σε σχολεία έδειξαν πολύ καλύτερη κατανόηση και επίδοση των μαθητών, καθώς και πολύ θετική αποδοχή από την πλευρά
των εκπαιδευτικών.
Στην Τροχιά των Ρητών, Βιβλίο μαθητή Ε’ Τάξης
Το σύγγραμμα αυτό συμπεριλαμβάνει το βιβλίο και το τετράδιο εργασιών του μαθητή για τη διδασκαλία των κλασμάτων και δεκαδικών αριθμών στην Ε’ τάξη του δημοτικού σχολείου.
Η διδασκαλία και μάθηση των κλασμάτων και των δεκαδικών αριθμών δυσκολεύει μαθητές και εκπαιδευτικούς. Με το παρόν βιβλίο θέλουμε να αντιμετωπίσουμε τη δυσκολία αυτή, επικεντρώνοντας στην κατανόηση των μαθητών και όχι στη χρήση κανόνων που δεν τους κατανοούν. Για να πετύχουμε την κατανόηση και τη θετική στάση των μαθητών, χρησιμοποιούμε στη διδασκαλία καταστάσεις της καθημερινής ζωής, πολλές αναπαραστάσεις και ειδικά την αριθμογραμμή, την τεχνολογία, τους κατ’ εκτίμηση υπολογισμούς κ.ά.
Το βιβλίο αυτό δοκιμάστηκε πειραματικά στα σχολεία και διορθώθηκε. Οι μαθητές κατανόησαν καλύτερα και έδειξαν υψηλότερη επίδοση στα κλάσματα και τους δεκαδικούς, οι δε δάσκαλοι το
αποδέχθηκαν με ενθουσιασμό.
Mental Computation and Estimation
Mental Computation and Estimation answers a number of important questions including: what mental calculations and estimation are, why they are important and what other mathematical concepts and cognitive behaviors are they related to? What strategies are used on mental additions, subtractions, multiplications and divisions and how are multiplication tables learned? What are the new trends in the teaching of mental calculation and estimation? This book will be an invaluable resource for all involved in the practice and research of mathematics education. It is also a useful tool for researchers, policy makers and developers of educational programs.
Ο Ορφέας και η Νεφέλη στη χώρα των κλασμάτων
«O Ορφέας και η Νεφέλη στη χώρα των κλασμάτων» είναι ένα ευφάνταστο, ευχάριστο και διδακτικό μαθηματικό παραμύθι το οποίο μπορεί να βοηθήσει τα παιδιά στη μάθηση των κλασμάτων. Το έγραψε η Ιωάννα Καϊάφα, που είναι φιλόλογος και δασκάλα, στο πλαίσιο των μεταπτυχιακών της σπουδών στη διδακτική των μαθηματικών. Είναι ένα έργο που αποτελεί καρπό επιστημονικής έρευνας του εργαστηρίου των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής και δοκιμάστηκε σε πολλούς δασκάλους, μαθητές, γονείς και διδάχτηκε, επίσης, πειραματικά μέσα στην τάξη.
Θεωρώ ότι το έργο αυτό είναι καινοτόμο, γιατί χρησιμοποιεί το παραμύθι, για να διδαχτεί ένα συγκεκριμένο περιεχόμενο που είναι τα κλάσματα, σε σημεία που έχουν αποδειχθεί από την επιστημονική έρευνα ότι είναι δύσκολα για τα παιδιά. Η διαπραγμάτευση και διδασκαλία των κλασμάτων, όπως είναι οι διάφοροι τρόποι λύσης, η έκφραση του τρόπου σκέψης από το παιδί, οι νοεροί υπολογισμοί με κλάσματα και οι διαφορές των φυσικών αριθμών από τα κλάσματα, γίνονται μέσα στο πλαίσιο της σύγχρονης διδασκαλίας των μαθηματικών που βασίζεται στην επιστημονική έρευνα.
Τα κλάσματα αποτελούν ένα χώρο των μαθηματικών όπου τα παιδιά συναντούν πολλές δυσκολίες. Οι δυσκολίες αυτές, τις περισσότερες φορές, οφείλονται στο νέο τρόπο σκέψης που απαιτούν, ο οποίος σε αρκετά σημεία έρχεται σε αντίθεση με τον τρόπο σκέψης που έχουν μάθει ήδη από τους φυσικούς αριθμούς.
Το παρόν έργο αποτελεί ένα σύγχρονο διδακτικό εργαλείο που ελπίζω και εύχομαι να χρησιμοποιηθεί, για να βοηθήσει πολλά παιδιά στην κατανόηση των κλασμάτων.
Ιωάννα Καϊάφα
Νοεροί Υπολογισμοί
Το βιβλίο αυτό πραγματεύεται σημαντικά και σύγχρονα θέματα που αφορούν τους νοερούς υπολογισμούς και την εκτίμηση και απευθύνεται σε όσους ασχολούνται με την πράξη και την έρευνα της εκπαίδευσης των μαθηματικών. Μερικά από τα ερωτήματα στα οποία επιχειρεί να απαντήσει είναι:
Πώς ορίζονται οι νοεροί και κατ’ εκτίμηση υπολογισμοί, γιατί είναι σημαντικοί και με ποιες άλλες μαθηματικές έννοιες και γνωστικές συμπεριφορές σχετίζονται; Ποιες είναι οι στρατηγικές που χρησιμοποιούνται στις νοερές προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις με φυσικούς και ρητούς αριθμούς; Πώς μαθαίνεται η προπαίδεια και ποια είναι τα γνωστικά χαρακτηριστικά της; Ποιες είναι οι σύγχρονες τάσεις για τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και της εκτίμησης; Ποια διδασκαλία εφαρμόζουν η Αγγλία και η Ολλανδία σε αυτό το θέμα και η συγκριτική μελέτη αυτών των διδασκαλιών από τη διεθνή επιστημονική κοινότητα; Πώς εξελίχθηκε ιστορικά η διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και της εκτίμησης στην ελληνική εκπαίδευση;
Πώς μαθαίνουν τους νοερούς υπολογισμούς και ποιες αδυναμίες παρουσιάζουν οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες και δυσκολίες στα μαθηματικά; Πώς λειτουργεί η μνήμη και σε ποια σημεία του εγκεφάλου γίνεται η λειτουργία των διεργασιών που σχετίζονται με τους νοερούς υπολογισμούς; Τα περιεχόμενα του βιβλίου εμπλουτίζονται με πολλές εμπειρικές έρευνες της σχολής των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής, οι οποίες αναδεικνύουν τις συμπεριφορές Ελλήνων μαθητών στα παραπάνω θέματα.
Χαράλαμπος Λεμονίδης
Καθηγητής Διδακτικής Μαθηματικών
Περιεχόμενα βιβλίου
Περισσότερες πληροφορίες
Με την έκδοση του βιβλίου αυτού φιλοδοξούμε να καταθέσουμε τη δική μας μικρή συμβολή στον εκσυγχρονισμό της διδασκαλίας των Μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου.
Αρχικά γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή στη διδασκαλία των Μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του Δημτικού Σχολείου κατά τη διάρκεια του εικοστού αιώνα. Στη συνέχεια αναλύονται και παρουσιάζονται οι αρχικές αριθμητικές γνώσεις που έχουν τα παιδιά όταν έρχονται στο Δημοτικό Σχολείο. Ακολουθεί σύντομη παρουσίαση των διδακτικών αρχών οι οποίες διαπνέουν τη νέα πρότασή μας για τη διδασκαλία των Μαθηματικών.
Παρουσιάζονται οι αλλαγές που προτείνουμε σε όλα τα περιεχόμενα των Μαθηματικών των δύο πρώτων τάξεων, η ορθότητα των οποίων τεκμηριωνεται εμπειρικά μέσα από πειραματική εφαρμογή τους σε σχολεία. Τέλος, αναλύουμε και αποδεικνύουμε την αλλαγή στις επιδόσεις των μαθητών που επιφέρει αυτή η νέα πρόταση διδασκαλίας.
Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται από τη μαθηματική πλευρά έννοιες της Αριθμητικής και της Θεωρίας των Αριθμών. Σκοπός του είναι να βοηθήσει το μελλοντικό ή τον εν ενεργεία εκπαιδευτικό να κατανοεί και να αναλύει με μαθηματικό τρόπο θέματα τα οποία συναντά στη διδασκαλία του.
Το περιεχόμενο του βιβλίου αυτού απευθύνεται κυρίως στους φοιτητές των Παιδαγωγικών Τμημάτων, αλλά και στους διδάσκοντες του Νηπιαγωγείου και του Δημοτικού που βρίσκονται στη διαδικασία επιμόρφωσης, καθώς και στους καθηγητές των πρώτων τάξεων του Γυμνασίου.
Οι νηπιαγωγοί και οι δάσκαλοι μπορούν να βρουν στοιχεία σχετικά με τη θεμελίωση της έννοιας του φυσικού αριθμού και των τεσσάρων πράξεων με βάση τη συνολοθεωρία, καθώς και την ανάλυση εννοιών όπως η ταξινόμηση, η διάταξη κ.ά. Τους διδάσκοντες των πρώτων τάξεων του Γυμνασίου αφορούν έννοιες από τη Θεωρία των Αριθμών που εμπεριέχονται στη διδασκόμενη ύλη.
Περίπατος στη Μάθηση της Στοιχειώδους Αριθμητικής
Τις τελευταίες δεκαετίες οι έρευνες της επιστήμης της Διδακτικής των Μαθηματικών αλλά και της Γνωστικής Ψυχολογίας έφεραν στην επιφάνεια πολλές λεπτομέρειες σχετικές με τον τρόπο που γίνεται η μάθηση πολλών εννοιών και καταστάσεων της Στοιχειώδους Αριθμητικής, οι οποίες είναι άγνωστες στη πλειοψηφία των διδασκόντων στη χώρα μας.
Με τη χρησιμοποίηση όλων αυτών των σύγχρονων δεδομένων στο βιβλίο αυτό παρουσιάζεται ο τρόπος με τον οποίο φτάνει το παιδί στην κατανόηση της έννοιας του αριθμού αρχίζοντας από τις γνώσεις και ικανότητες που διαθέτει ακόμη από την προσχολική ηλικία. Εξετάζονται, δηλαδή, σε μια πορεία εξέλιξης οι ικανότητες της προφορικής αρίθμησης, της απαρίθμησης, της διατήρησης του αριθμού, της γραφής του, των πρώτων προσθέσεων και αφαιρέσεων, κλπ. Παρουσιάζεται επίσης ο τρόπος με τον οποίο αρχίζει από την προσχολική ηλικία και εξελίσσεται μέχρι την ενηλικίωση η νοερή μάθηση των τεσσάρων απλών πράξεων της αριθμητικής και η αποθήκευση των αποτελεσμάτων τους στη μνήμη. Αναλύονται και δίνονται κανόνες ταξινόμησης και αξιολόγησης, για τον εκπαιδευτικό, των προβλημάτων που λύνονται με τις τέσσερις πράξεις. Οι ταξινομήσεις των προβλημάτων αυτών μπορούν να εφαρμοστούν μέχρι και τις πρώτες τάξεις του Γυμνασίου. Αναλύονται επίσης οι αλγόριθμοι των γραπτών αριθμητικών πράξεων και των ιδιοτήτων που τους συνθέτουν και παρουσιάζονται τα λάθη των μαθητών κατά τη χρήση τους.
Το περιεχόμενο του βιβλίου αυτού απευθύνεται κυρίως στους δασκάλους, στους νηπιαγωγούς και στους καθηγητές των πρώτων τάξεων του γυμνασίου. Απευθύνεται επίσης σε όλους εκείνους που ασχολούνται επιστημονικά με τη διδασκαλία της στοιχειώδους αριθμητικής (συντάκτες προγραμμάτων, σχολικούς συμβούλους, επιμορφωτές, ερευνητές της Διδακτικής των Μαθηματικών), καθώς επίσης στους γονείς και στους ερευνητές της Γνωστικής Ψυχολογίας και Παιδαγωγούς που ασχολούνται με Μαθηματικά θέματα.